میکانیکی لاگرانج

پێشەکی

میکانیکی لاگرانج یەکێکە لە گرنگترین و بەهێزترین فۆرمولاسیۆنەکانی میکانیکی کلاسیکی کە لە سەدەی هەژدەهەمدا لەلایەن بیرکاریزان و فیزیکزانی ئیتاڵی-فەرەنسی جۆسێپ لوی لاگرانجەوە پەرەی پێدرا. ئەم میکانیکە ڕێگایەکی جێگرەوەیە بۆ میکانیکی نیوتن و بەتایبەتی کاریگەرە لە شیکردنەوەی سیستەمە ئاڵۆزەکاندا.

مێژووی میکانیکی لاگرانج

میکانیکی لاگرانج لە کۆتاییەکانی سەدەی هەژدەهەمدا لەلایەن جۆسێپ لوی لاگرانجەوە داهێنرا. لاگرانج لەسەر بنەمای کارەکانی لێئۆنهارد ئۆیلەر و پیەر لوی مۆپێرتوی کاری کرد. ئەو توانی فۆرمولاسیۆنێکی نوێ بۆ میکانیک پێشکەش بکات کە زۆر گشتگیرتر و کاریگەرتر بوو لە میکانیکی نیوتن. ئەم فۆرمولاسیۆنە نوێیە بووە هۆی گۆڕانکارییەکی گەورە لە تێگەیشتنی فیزیکزانان لە دینامیکی سیستەمەکان و ڕێگای خۆشکرد بۆ گەشەکردنی زیاتری فیزیکی تیۆری.

بنەماکانی میکانیکی لاگرانج

میکانیکی لاگرانج لەسەر چەند بنەمایەکی سەرەکی دامەزراوە:

ا. پرەنسیپی کەمترین کردار: ئەم پرەنسیپە دەڵێت کە سروشت هەمیشە ڕێگایەک هەڵدەبژێرێت کە کردار (action) کەمترین بێت.

ب. کۆئۆردینەیتی گشتگیر: لە جیاتی بەکارهێنانی کۆئۆردینەیتی کارتێزی، میکانیکی لاگرانج پشت بە کۆئۆردینەیتی گشتگیر دەبەستێت کە دەتوانێت هەر جۆرە سیستەمێک وەسف بکات.

ج. وزەی جیاوازی: میکانیکی لاگرانج لەسەر بنەمای وزەی جیاوازی (کە جیاوازی نێوان وزەی جووڵە و وزەی پۆتێنشیاڵە) کار دەکات نەک هێز.

فۆرمولاسیۆنی لاگرانج

فۆرمولاسیۆنی لاگرانج لەسەر بنەمای فەنکشنێک دامەزراوە کە پێی دەوترێت لاگرانجیان (L). لاگرانجیان بریتییە لە جیاوازی نێوان وزەی جووڵە (T) و وزەی پۆتێنشیاڵ (V):

L = T - V

لێرەدا T و V هەردووکیان فەنکشنی کۆئۆردینەیتی گشتگیر و خێراییەکانیانن. لە ڕێگەی ئەم لاگرانجیانەوە، دەتوانین هاوکێشەکانی جووڵە بۆ سیستەمەکە دەربهێنین.

یاساکانی میکانیکی لاگرانج

گرنگترین یاسا لە میکانیکی لاگرانجدا هاوکێشەی ئۆیلەر-لاگرانجە:

d/dt (∂L/∂q̇ᵢ) - ∂L/∂qᵢ = 0

لێرەدا qᵢ کۆئۆردینەیتی گشتگیرە و q̇ᵢ خێراییە. ئەم هاوکێشەیە بۆ هەر کۆئۆردینەیتێکی گشتگیر جێبەجێ دەکرێت و دەتوانێت جووڵەی سیستەمەکە وەسف بکات.

جیاوازی لەگەڵ میکانیکی نیوتن

میکانیکی لاگرانج لە چەند ڕوویەکەوە لە میکانیکی نیوتن جیاوازە:

ا. بەکارهێنانی کۆئۆردینەیتی گشتگیر لە جیاتی کۆئۆردینەیتی کارتێزی.

ب. بەکارهێنانی وزە لە جیاتی هێز.

ج. توانای باشتر بۆ مامەڵەکردن لەگەڵ سیستەمە ئاڵۆزەکان.

د. ئاسانکردنەوەی شیکردنەوەی سیستەمە میکانیکییەکان لە ڕێگەی کەمکردنەوەی ژمارەی هاوکێشەکان.

بەکارهێنانەکانی میکانیکی لاگرانج

میکانیکی لاگرانج بەکارهێنانی فراوانی هەیە لە زۆر بواری فیزیک و ئەندازیاریدا:

ا. شیکردنەوەی جووڵەی تەنە ئاسمانییەکان

ب. لێکۆڵینەوە لە دینامیکی پارتیکڵەکان

ج. شیکردنەوەی سیستەمە میکانیکییە ئاڵۆزەکان وەک ڕۆبۆتەکان

د. لێکۆڵینەوە لە جووڵەی شلەمەنییەکان

ه. شیکردنەوەی جووڵە لە میکانیکی کوانتەمدا

سودەکانی میکانیکی لاگرانج

میکانیکی لاگرانج چەندین سودی گرنگی هەیە

ا. ئاسانکردنەوەی شیکردنەوەی سیستەمە ئاڵۆزەکان

ب. کەمکردنەوەی ژمارەی هاوکێشەکان بۆ وەسفکردنی سیستەمێک

ج. دەرخستنی پاراستنەکان (وەک پاراستنی وزە و گوڕ) بە شێوەیەکی ڕاستەوخۆتر

د. فەراهەمکردنی بنەمایەک بۆ تیۆرە پێشکەوتووەکانی فیزیک وەک تیۆری ڕێژەیی گشتی و میکانیکی کوانتەم

ئەنجام

میکانیکی لاگرانج بەشێکی گرنگ و سەرەکییە لە فیزیکی کلاسیکی و بنەمایەکی بەهێزە بۆ تێگەیشتن لە دینامیکی سیستەمەکان. ئەم میکانیکە توانیویەتی چوارچێوەیەکی گشتگیر و کاریگەر پێشکەش بکات بۆ شیکردنەوەی جووڵە کە لە زۆر بواردا بەکاردێت. هەرچەندە فێربوون و بەکارهێنانی سەرەتا دەشێت ئاڵۆز بێت، بەڵام ئەو ئامرازانەی کە پێشکەشی دەکات بۆ شیکردنەوەی کێشە فیزیکییەکان زۆر بەنرخن. لە کۆتاییدا، میکانیکی لاگرانج نەک تەنها ڕێگایەکی جێگرەوەیە بۆ میکانیکی نیوتن، بەڵکو بەردی بناغەیە بۆ زۆرێک لە تیۆرە هاوچەرخەکانی فیزیک.